Том 6 - 2020 | https://doi.org/10.3389/fmech.2020.00057
Многие физиологические системы могут быть смоделированы как структура основания слоя, и, как правило, механические свойства поверхностного слоя отличаются от свойств массовой внутренней части. В начале 1978 года Хаджи (1978) исследовал углубление легких под однородным давлением, рассматривая выборку как изотропную упругую половину пространства, идеально прилипнувшаяся с напряженной мембраной. Предполагается, что толщина поверхностной мембраны в конечном итоге мала, так что ее изгибающей жесткостью можно пренебречь. Кроме того, для небольшой деформации мембранное натяжение предполагается, сохраняющую постоянную. С теми же предположениями, Ким и Гулдстоун (2008) рассмотрели осесимметричное сферическое отступление эластичного твердого вещества с зависимым от штамма мембранного натяжения. Более того, поверхностный слой некоторых мягких тканей и отдельных клеток можно рассматривать как предварительную «пластину» или «оболочку» с конечной толщиной, которая также может сопротивляться деформации изгиба (Zamir and Taber, 2004; Zhang and Zhang, 2009). Недавно Аргатов и Сабина (2012) рассматривали поверхностный слой как усиленную мембрану в обобщенном состоянии плоского напряжения. Они предположили, что в мембране нет предварительного натяжения, и жесткость изгиба незначительна по сравнению с жесткостью растяжения в плоскости. Такой метод моделирования использовался в анализе деформации анизотропного суставного хряща (Argatov and Mishuris, 2016). Промышленный Фильтр
Интересно отметить, что вышеупомянутые модели, первоначально разработанные для биологических материалов, аналогичны хорошо известной теории эластичности поверхности Гуртина и Мердока (1975), которая характеризует поверхность материала с поверхностным натяжением и эластичностью поверхности. Как заявил Хаджи (Hajji, 1978), математические выражения в основном последовательны, хотя они имеют совершенно разные физические природы. Постоянное мембранное натяжение в Хаджи (1978) и Ким и Гулдстоу (2008) соответствует остаточному поверхностному натяжению, а поверхностный слой, смоделированный в Аргатова и Сабине (2012) и Аргатова и Мишурисе (2016), может рассматриваться как твердая поверхность с эластичностью поверхности. Недавно проблемы поверхностных нагрузок и контактов широко изучались на основе теории эластичности поверхности (He and Lim, 2006; Wang and Feng, 2007; Zhou and Gao, 2013; Long et al., 2017; Li et al., 2020). Установлено, что поведение деформации будет отчетливо отличаться от классических моделей, когда размер нагрузки сопоставим или даже меньше критической длины, обычно при нано/микромасштаб. Однако эти аналитические работы обычно ограничиваются простыми случаями под заданным поверхностным давлением или для симметричных ситуаций.
Физически теория эластичности поверхности основана на концепции твердой поверхностной энергии (Gurtin and Murdoch, 1975). Для общего контакта между двумя твердыми телами энергия поверхности каждой свободной поверхности (γ1, γ2) и контактного раздела (γ12) следует учитывать одновременно. Два упрощенных случая могут быть распознаны в соответствии со значениями этих поверхностных энергий. Когда разница в энергии w = γ1+γ2-γ12 (называемая работой адгезии) является заметным, а влияние поверхностной энергии за пределами контакта можно пренебречь, модель клея со специфической работой адгезии будет уместным (Johnson et al., 1971). С другой стороны, если разница в энергии равна нулю (W = 0), но поверхностная энергия одного контактного тела намного больше другого (IE, γ1 >> γ2 и γ1 ≈ γ12), проблема контакта может быть решена в рамках теории эластичности поверхности (He и Lim, 2006; Wang and Feng, 2007; Zhou и Gao, 2013; В этой работе мы рассмотрим последнее обстоятельство с постоянным поверхностным натяжением или, эквивалентно, неадгезивным контактом твердых веществ с напряженной поверхностной мембраной.
Методы Fast Fourier Transform (FFT) широко использовались для решения проблем упругого контакта для его большого преимущества при снижении затрат на вычисление. Для эффективной молекулярной динамики функции Грина (GFMD) (Campañá and Müser, 2006; Prodanov et al., 2014) метод FFT играет важную роль в определении эластичного ответа субстрата на внешние поверхностные силы. Кроме того, метод граничного элемента (BEM), который использует FFT для ускорения расчета смещений, вызванных данными поверхностными силами, также был оказан быстрым и устойчивым для анализа различных проблем с контактами (Nogi and Kato, 1997; Liu et al., 2000; Polonsky and Keer, 2000; Pohrt and Popov, 2012, 2015; Bugnicourt et al., 2018). Основной принцип BEM на основе FFT состоит в том, чтобы оценить линейную свертку фундаментального решения и распределение давления на основе теоремы свертки. Для классической эластичной проблемы с приближением половины пространства, фундаментальное решение Simple Bousesinesq или его форма в пространстве Фурье обычно используется в BEM для нормальных задач контакта. Однако, когда поверхность упругих половинного пространства будет эквивально напряжена, все будет иначе.
Эта статья направлена на расширение зрелого BEM на основе FFT для расчета нормального контакта материала с мембраной/поверхностным натяжением. Несколько примеров расчета приведены для демонстрации достоверности и полезности этого метода. Этот метод обеспечивает потенциальный числовой подход для изучения контактного поведения некоторых мягких структур, что представляет особый интерес для измерения механических свойств биологических тканей (Zhang et al., 2014).
С некоторым указанным внешним давлением, приложенным на поверхности, проблема граничного значения может быть решена в рамках классической линейной упругих теории, при условии, что используется нетрадиционное граничное состояние, связанное с поверхностным натяжением (Hajji, 1978; He and Lim, 2006; Wang and Feng, 2007; Zhou and Gao, 2013). Для осесимметричной ситуации под однородным нормальным давлением P0 в круглой области радиуса A, граничное условие считывается,
где U (R) является вертикальным смещением на поверхности, σzz и σzr являются объемным нормальным напряжением и напряжением сдвига при z = 0 соответственно, а H - функция шага первой части.
Используя интегральное преобразование Ханкеля и заменив граничное условие на общие растворы, может быть получено вертикальное смещение, вызванное равномерным давлением P0 (Hajji, 1978). Более того, путем реализации ограничивающего процесса, при котором радиус A уменьшается до нуля с результирующей силой, поддерживающей постоянную единицу πa2p0 = 1, фундаментальное решение, которое является вертикальным смещением в точке (x, y), индуцированном силой концентрата единичной
где s = 2τ0/e* является характерной длиной, E* = E/(1–ν2) - это уменьшенный модуль, Hn и Yn - функция Struve, а функция Бесселя второго вида порядка N соответственно.
FFT этого фундаментального решения, G ~ (ω), нанесен на рисунок 2, где ω = ωx2+ωy2-величина волнового вектора (ωx-угловая частота в направлении x, а ωy-угловая частота в направлении Y). Установлено, что результаты согласуются с теоретическим прогнозом (Li and Popov, 2020),
Для отступления твердого тела с известным профилем F (x, y) в глубину δ см. Рисунок 1a, вертикальное смещение на поверхности U (x, y) должно выполнить следующее условие:
Предположим, что положительное контактное давление между субстратом и индентором распределяет как p (x, y). Затем, согласно принципу суперпозиции, вертикальное смещение, генерируемое p (x, y), может быть выражено
Обратите внимание, что вычислительный домен, который дискретизируется в поверхностные элементы, должна включать в себя всю потенциальную область контакта. Если вычислительный домен содержит элементы n × n, коэффициенты влияния Kijkl имеют значения N4. Использование метода прямого умножения имеет сложность O (N4). Вместо этого мы предпочитаем применить метод FFT для оценки вертикального смещения для данного давления, то есть левой стороны уравнения (7). Сложность затем уменьшается до O (N2LONG). Стоит упомянуть, что многоуровневый метод многоэтажности, предложенный Brandt и Lubrecht (1990), допускает такое же ускорение вычислений.
Основная идея метода ускорения на основе FFT состоит в том, чтобы интерпретировать левую сторону уравнения (7) как двумерную дискретную свертку и применение теоремы круговой сверты (Liu et al., 2000; Pohrt and Li, 2014). В этой работе матрица коэффициента влияния (KKL) N × N сначала подготовлена в реальном пространстве, выполняя численную интеграцию уравнения (8) с xi = yj = 0. Следует указать, что соответствующие операции по обращению с нулевой прокладкой и матрицы в аэродинами которые могут избежать периодической ошибки (Liu et al., 2000). Далее, FFT реализован на двух матрицах. Результаты могут быть легко получены путем умножения матрицы коэффициента влияния и матрицы давления в пространстве Фурье. Затем, выполнение обратного FFT (IFFT) дает вертикальное смещение, вызванное распределением давления (PKL) N × N в реальном пространстве. В результате возникает проблема,
где ∘ представляет продукт по элементу, а h определяется формой индентера и глубиной отступления, Hij = Δ +f (xi, yj).
С помощью метода ускорения на основе FFT эта обратная проблема может быть решена с помощью итерационной схемы, основанной на методе конъюгатного градиента (Liu et al., 2000; Polonsky and Keer, 2000; Pohrt and Li, 2014). Конечный полученный контактный давление (PKL) N × N должен быть положительным во всех элементах контакта, где индуцированное вертикальное смещение совпадает с данным жестким профилем и равна нулю в неконтактной области, где условие непереселшивания всегда выполняется. Наконец, общие контактные ответы при указанной нагрузке в отступлении Δ готовы к оценке. Результирующая сила P, применяемая на инденсете, получает путем суммирования сил во всех дискретных контактных элементах. Реальная область контакта А вычисляется путем умножения количества контактных элементов на область одного элемента Δ2. Следует отметить, что область контакта, полученная этим методом прямого суммирования, может быть точной только тогда, когда контактная поверхность дискретизируется достаточно утонченными сетками. Коррекция площади до предела континуума, как это сделано Prodanov et al. (2014) необходим. Неизбежно, расчет BEM с более тонкой дискретизацией поверхности потребует больше времени. Кроме того, стоит упомянуть, что Yastrebov et al. (2017) представили маршрут коррекции для вычисления точной области контакта с относительно грубой дискретизацией для такого рода численного метода.
Чтобы проверить способность BEM на основе FFT, описанного в численном методе секции, мы сначала рассмотрим простой случай, что осесимметричный параболический индденсер вносится в половину пространства при смещении Δ. Численное моделирование выполняется для мягкого материала (e* = 10 кПа), из которого поверхность предварительно напрягается постоянным натяжением τ0 = 1 Н/м (с незначительной жесткостью изгиба и жесткостью в плоскости). Квадратная поверхностная область длины края 2AH, где AH - это радиус контакта, предсказываемый теорией Герца, сочетается с элементами n × n. Профиль жесткого индентера радиуса кривизны r = 1 мм определяется
Сначала область контакта под различным уровнем дискретизации рассматривается, чтобы проверить ошибку, зависящую от сетки в этом BEM. На рисунке 3 площадь контакта при нормальном смещении Δ = 0,05 мм построена как функция числа поверхностных элементов. Можно обнаружить, что область сходится к стабильному пределу (т.е. предел континуума), когда число элементов n увеличивается. В этом случае максимальная ошибка составляет около 4% для самой грубой сетки n = 32. Ошибка становится достаточно малой (<0,5%), когда n больше 256. Более того, с помощью метода коррекции, предложенного Yastrebov et al. (2017), обнаружено, что сетка может быть более грубой, чтобы достичь той же точности, что и у более тонкой сетки без коррекции. Для удобства мы используем сетку сетки n = 256 для моделирования контактов одиночной неровности, которой уже достаточно, чтобы получить точные результаты даже без коррекции.
Влияние мембранного/поверхностного натяжения может быть отражено путем безразмерного соотношения характерной длины S (определено 2τ0/e*) к радиусу контакта a. На рисунке 4 показано распределение контактного давления для случаев различного соотношения S/A. Изменения нагрузки на вдавливание и глубину отступа по отношению к соотношению S/A нанесены на рисунках 5A, B соответственно. Видно, что наши численные результаты, полученные из расчетов BEM, хорошо совпадают с существующими полуаналитическими решениями (Kim and Gouldstone, 2008; Long et al., 2017). Зависимое от размера контактное поведение воспроизводится. По -видимому, когда размер контакта А сопоставим или меньше характерной длины, контактный ответ по существу отклонится от классической теории контактов Герца. По сравнению с прогнозированием теории Герца, для достижения определенной области контакта необходима более высокая нагрузка на вдавливание или большую глубину углубления из -за присутствия мембранного/поверхностного натяжения.
Рисунок 4. Распределение давления контакта вдоль направления оси X. Сплошные линии являются полуаналитическим раствором от Kim and Gouldstone (2008), а символы рассеяния являются численными результатами BEM.
Для данного смещения δ = 0,05 мМ, проявляемого на жестком инденсере R1 = 1 мМ и R2 = 2 мМ, распределения нормального давления на половину пространства с различным мембранным/поверхностным натяжением показано на рисунке 6. На основе распределения давления может быть определено контактная область, которая определяется как ellipse с Axi-AXIS A.2. При увеличении мембраны/поверхностного натяжения площадь эллиптического контакта сокращается, и распределение контактного давления, как правило, является более равномерным. Согласно классической теории Герца, соотношение A1/A2 зависит только от соотношения принципиальных кривиз инденса R1/R2. Тем не менее, замечено, что значение A1/A2 больше не сохраняется постоянным для данного инденса, но снижается по мере увеличения мембранного/поверхностного теней. Другими словами, контактный эллипс будет несколько стройным, если поверхностная мембрана будет эквитино-биоскую напряженность. Это явление может быть объяснено зависимым от размера поведение, вызванное мембранным/поверхностным натяжением. Поскольку длина вдоль незначительной оси контактного эллипса меньше, чем вдоль основной оси, эффект размера на уменьшение размерного контакта рядом с незначительной осью будет относительно более заметным.
Figure 6. Distributions of normal pressure of the contact between an elliptical indenter and a soft substrate with modulus E* = 10 kPa and different membrane/surface tension: (A) τ0 = 0 N/m, (B) τ0 = 0.1 N/m, (C) τ0 = 0.5 N/m, (D) τ0 = 1 N/m, (E) τ0 = 2 N/m and (F) τ0 = 5 N/m.
Если C0 является постоянной, H является экспонентом Hurst, Q-это волновой вектор, Q0 = 2π/L, а QS-это свернутые и обрезанные волны соответственно.
Основываясь на этом спектре мощности, дискретная грубая поверхность может быть получена с использованием обратного быстрого преобразования Фурье (Pohrt and Popov, 2012). Затем данные высоты поверхности F (xi, yj) на однородную сетку N × N наложены на дно квадратного плоского инденса с длиной L. Обратите внимание, что самая высокая точка шероховатой поверхности первоначально помещается на поверхность половины пространства. Соответственно, область квадратной поверхности на половине пространства A0 = L × L, которая соответствует прогнозируемой области интендера, сочетается с элементами поверхности n × n. Частичный контакт происходит, когда индентор движется вниз на смещение δ.
В целом, эластичный контактный отклик грубой поверхности должен зависеть от свойства материала E* и параметров топографии поверхности, включая среднюю квадратную (RMS) шероховатость σ, показатель Hurst H, размер системы L = 2π/Q0 и отрезанные волнообразные QS. В этом случае с мембранным/поверхностным натяжением τ0 контактный отклик ϕ для заданной глубины отступления δ должен быть функцией этих переменных, ϕ = ϕ (τ0, E*, σ, H, L, QS, δ). Размерный анализ показывает, что эффекты мембранного/поверхностного натяжения могут быть отражены безразмерным параметром (τ0/e*)/(σ2/l). В этой работе мы откладываем в сторону роль свойства топографии поверхности, которая контролируется безразмерными параметрами, включая σ/l, h и σqs, и просто отображает эффекты мембранного/поверхностного натяжения.
Искусственная шероховатая поверхность (n = 1,024, L = 1 мм) с шероховатостью среднеквадратичной σ = 0,01 мм, H = 0,7, Q0 = 2π/L и QS = 2π/(16 л/N). Примеры расчетов выполняются для этой шероховатой поверхности в контакте с мягким субстратом с уменьшенным модулем E* = 10 кПа и различными напряжениями мембраны τ0 = 0, 10, 50, 100 мн/м. Реальная область контакта A/A0 и нагрузка в отступление P/(E*σl) получены для различной глубины вдавшегося Δ/σ.
На рисунке 8а показана зависимость A/A0 от Δ/σ для случаев различных мембранных/поверхностного натяжения. Для данного смещения инденса область контакта значительно снижается с увеличением приложенной мембраны/поверхностного натяжения. Например, когда смещение индентера Δ = 10σ, площадь фракции контакта падает с 43,5% для подложки с некрасивой поверхностью до 7,95% для того, чтобы у этого было мембранное/поверхностное натяжение 100 мн/м. Конфигурации областей контакта для Δ = 10σ представлены на рисунке 8b. Обратите внимание, что реальная область контакта, рассчитанная путем прямого суммирования контактных элементов, сравнивалась с оценкой методом коррекции Yastrebov et al. (2017). Как показано на рисунке 8а, разница невелика. Следовательно, расчет площади контакта для этого уровня дискретизации должен быть правильным и точным. Кроме того, изменение A/A0 относительно P/(e*σl) отображается на рисунке 9. Наклон кривой уменьшается с увеличением значения τ0, что означает, что для создания указанной области контакта требуется более высокая нагрузка на внешнюю нагрузку для углубления для более крупной мембраны/поверхностного напряжения. В результате, для данного субстрата с определенным модулем, отступаемым определенной шероховатой поверхностью, среднее контактное напряжение, определяемое соотношением нагрузки вдали, к реальной области контакта, P/A, может быть увеличено путем применения определенной мембраны/поверхностного натяжения на поверхности субстрата.
Аргатов, II и Сабина, FJ (2012). Сферическое отступление поперечно-изотропного упругого полупространства, усиленного тонким слоем. Инт. J. Eng. Наука 50, 132–143. doi: 10.1016/j.ijengsci.2011.08.009
Брандт А. и Любрехт А.А. (1990). Многоуровневая матрица Умножение и быстрое решение интегральных уравнений. J. Comput. Физический 90: 348–70. doi: 10.1016/0021-9991 (90) 90171-V
Bugnicourt, R., Sainsot, P., Dureisseix, D., Gauthier, C. и Lubrecht, AA (2018). Методы на основе FFT для решения грубого клейкого контакта: описание и исследование сходимости. Трибол. Летал 66:29. doi: 10.1007/s11249-017-0980-z
Campañá, C. и Müser, MH (2006). Практический подход функции Грина к моделированию эластичных полустоянных твердых веществ. Физический Преподобный Б. 74: 075420. doi: 10.1103/physrevb.74.075420
Gurtin, ME и Murdoch, AI (1975). Континуум теория упругих материалов. Архи Крыса. Мех Анальный. 57, 291–323. doi: 10.1007/bf00261375
Он, LH и Lim, CW (2006). Поверхностная зеленая функция для мягкого упругого полупространства: влияние поверхностного напряжения. Инт. J. SOLID CORT. 43, 132–143. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2005.04.026
Джонсон, К.Л., Кендалл, К. и Робертс, А.Д. (1971). Поверхностная энергия и контакт упругих твердых веществ. Прокурор R. Soc. Лондон A 324, 301–313. doi: 10.1098/rspa.1971.0141
Li, M., Zhang, HX, Zhao, ZL и Feng, XQ (2020). Поверхностное воздействие на цилиндрическое вдавливание мягкого слоя на жестком субстрате. Акта Мех. Синика. 36, 422–429. doi: 10.1007/s10409-020-00941-8
Liu, S., Wang, Q. и Liu, G. (2000). Универсальный метод дискретной свертки и БПФ (DC-FFT) для контактного анализа. Носить. 243, 101–111. doi: 10.1016/s0043-1648 (00) 00427-0
Long, JM, Ding, Y., Yuan, WK, Chen, W. и Wang, GF (2017). Общие отношения углубления на твердые вещества с поверхностным натяжением. Asme J. Appl. Мех 84: 051007. doi: 10.1115/1.4036214
Ноги Т. и Като Т. (1997). Влияние твердого поверхностного слоя на предел упругого контакта - Часть I: Анализ с использованием реальной модели поверхности. J. Tribol. 119, 493–500. doi: 10.1115/1.28335525
Pohrt, R. и Li, Q. (2014). Полная формулировка пограничного элемента для нормальных и тангенциальных задач контакта. Физический Мезомех. 17, 334–340. doi: 10.1134/s1029959914040109
Pohrt, R. и Popov, VL (2012). Нормальная контактная жесткость упругих твердых веществ с фрактальными шероховатыми поверхностями. Физический Преподобный Летт 108: 104301. doi: 10.1103/physrevlett.108.104301
PubMed Abstract | Crossref Полный текст | Google Scholar
Polonsky, IA и Keer, LM (2000). Быстрые методы решения грубых задач контакта: сравнительное исследование. ASME. J. Tribol. 122, 36–41. doi: 10.1115/1,555326
Проланов Н., Дапп, В.Б. и Мюсер, М.Х. (2014). На области контакта и среднего разрыва грубых, упругих контактов: размерный анализ, численные исправления и справочные данные. Трибол. Летал 53, 433–448. doi: 10.1007/s11249-013-0282-z
Rey, V., Anciaux, G. и Molinari, JF (2017). Нормальный контакт клея на грубых поверхностях: эффективный алгоритм для разрешения BEM на основе FFT. Вычислительный Мех 60, 69–81. doi: 10.1007/s00466-017-1392-5
Wang, GF и Feng, XQ (2007). Влияние поверхностных напряжений на проблемы с контактом при наноразмерной. J. Appl. Физический 101: 013510. doi: 10.1063/1,2405127
Yastrebov, VA, Anciaux, G. и Molinari, JF (2017). На точном вычислении истинной области контакта в механическом контакте случайных грубых поверхностей. Трибол. Инт. 114, 161–171. doi: 10.1016/j.triboint.2017.04.023
Zamir, EA и Taber, LA (2004). О влиянии остаточного стресса в микроинтакционных тестах структур мягких тканей. Asme J. Biomech. Англ. 126, 276–283. doi: 10.1115/1.16955573
PubMed Abstract | Crossref Полный текст | Google Scholar
Чжан, Сай и Чжан, YW (2009). Извлечение упругих свойств и предварительного напряжения клетки с использованием атомной силы микроскопии. J. Mater. Резерв 24, 1167–1171. doi: 10.1557/jmr.2009.0121
Zhang, MG, CAO, YP, LI, GY и Feng, XQ (2014). Метод сферического отступления для определения конститутивных параметров гиперластичных мягких материалов. Биомех. Модель. Механобиол. 13, 1–11. doi: 10.1007/s10237-013-0481-4
PubMed Abstract | Crossref Полный текст | Google Scholar
Чжоу С. и Гао, XL (2013). Решения проблем с половиной пространства и полуплодного контакта на основе поверхностной эластичности. Z. Angew. Математика Физический 64, 145–166. doi: 10.1007/s00033-012-0205-0
Copyright © 2020 Юань и Ван. Это открытая статья, распространяемая в соответствии с условиями лицензии на атрибуцию Creative Commons (CC BY). Использование, распространение или воспроизведение на других форумах разрешены, при условии, что первоначальные авторы (ы) и владельцы авторских прав зачислены и что цитируется первоначальная публикация в этом журнале в соответствии с принятой академической практикой. Беспотребление, распределение или воспроизводство разрешено, что не соответствует настоящим Условиям.
*Переписка: Weike Yuan, Dy55dwfuqgnhbxb1cy50ds1izxjsaw4uzgu =;